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0343-整数拆分
https://leetcode.cn/problems/integer-break
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
基本思路:贪心算法
TODO ：数学证明
如果一个数等于2，拆分成1和1 如果一个数等于3，拆分成2和1 如果一个数大于4，总是拆分成3和剩下的一个数
参考代码
csharp
public class Solution {
public int IntegerBreak(int n) {
//边界处理
if(n == 2 || n==3){
return n-1;
}
if(n == 4){
return 4;
}
int result = 1;
while(n > 4){
n = n -3;
result *=3;
}
result *= n;
return result;
}
}
时间复杂度 O(n) 空间复杂度 O(1)
思路2： 动态规划
定义 dp， dp[i] 表示到i的最大乘积 状态转移方程： 从 j 循环到 i - 2 ， dp[i] = max( (i - j) * dp[j] ) 最后取出 dp[i]
注意： 计算 curMax 的时候，可能有两种情况，比如 3, 拆分 1 和前一个 dp[2] 相乘就等于1， 小于 3 和剩下的 2 相乘 所以 分别于 j, 和 dp[j] 相乘，取大值
csharp
public class Solution {
public int IntegerBreak(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
//初始化
dp[2] = 1;
for(int i=3; i<=n; i++){
int curMax = 0;
for(int j=2; j<i; j++){
curMax = Math.Max((i-j) * j,curMax);
curMax = Math.Max((i-j) * dp[j], curMax);
}
dp[i] = curMax;
}
return dp[n];
}
}
或者
csharp
public class Solution {
public int IntegerBreak(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
//初始化
dp[2] = 1;
for(int i=3; i<=n; i++){
for(int j=2; j<i; j++){
dp[i] = Math.Max((i-j) * j,dp[i]);
dp[i] = Math.Max((i-j) * dp[j], dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
}
复习:20220504
csharp
public class Solution {
public int IntegerBreak(int n) {
//动态规划 dp[i] 表示是 i 能拆成的最大乘积
int[] dp = new int[n+1];
dp[2] = 1; //2拆成 1*1
for(int i=3; i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
dp[i] = Math.Max(Math.Max(dp[i], (i-j)*j ), (i-j)*dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
}